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デジタルフィルタ

　覚え書き、もしくは落書きです。

窓関数

窓関数の周波数特性図に出てくる \(\makeunit{Lf}\) が分かんない
前提条件: これは離散系ではなく連続系（時間も周波数も連続）
\(L\) : 時間、窓関数の長さ、単位は \(\makeunit{s}\)
窓関数は無限の過去から無限の未来のうち、現在時刻から \(L\makeunit{s}\) 秒だけ値があり、残りは全部ゼロ
周期波形ではないので、そのフーリエ変換は連続かつ無限の周波数成分がある
1周期分の矩形波を乗じられているとも考えられるので、周波数特性はなんとなくsinc関数みたいな形になる（LPFの計算をするときに矩形関数を逆フーリエ変換するが、結果がsinc関数になるのと同じ理屈）
\(f\) : 周波数、単位は \(\makeunit{Hz}\)
周波数の次元は \(\makeunit{1/s}\) なので、両者をかけた \(\makeunit{Lf}\) は無次元
要するに長さ \(1\makeunit{s}\) の窓関数に \(1\makeunit{Hz}\) の波形を突っ込んだ時の振幅が \(1\makeunit{Lf}\) のところにプロットされる
窓関数の特性で重要なのはメインローブの幅（最初に振幅が0、あるいは \(-\infty\makeunit{dB}\) になる位置）と、サイドローブの最大値だが、 \(\makeunit{Lf}\) はメインローブの幅に関係してくる

つかいかた

遅延を基準にする

目的のサイドバンドレベルを満たす窓関数を選んでくる
メインローブが最初に0になる周波数が \(f\makeunit{Lf}\) だったとする
フィルタの遅延量 \(t_d\makeunit{s}\) を決める
普通に設計すれば遅延は窓関数の長さの半分になるので、窓関数の長さは遅延の倍になり \(2t_d\makeunit{s}\)
このフィルタの遷移域の幅は \(f/(2t_d)\makeunit{Hz}\) になる

遷移域を基準にする

目的のサイドバンドレベルを満たす窓関数を選んでくる
メインローブが最初に0になる周波数が \(f\makeunit{Lf}\) だったとする
フィルタの遷移域の帯域幅 \(f_{tbw}\makeunit{Hz}\) を決める
メインローブはゼロを中心に左右にあるので、必要な窓関数の長さは \(2f/f_{tbw}\makeunit{s}\)
遅延はその半分なので \(f/f_{tbw}\makeunit{s}\)

いずれにしろ、遷移域を狭くしたければ窓関数を長くする必要があって遅延は増大し、遅延を短くしたければ窓関数は短くなって遷移域が広がる
設計条件を満たせなければ、窓関数を選び直すしかないが、窓関数もメインローブの幅が狭いほどサイドバンドの最大値は大きく、サイドバンドの最大値が小さいほどメインローブの幅が広い
結論: 世の中はそんなに甘くない

8ビットリサンプル用の窓関数

サイドバンドは \(-48\makeunit{dB}\) 程度でいい
パラメータで特性を決められる窓関数としてはカイザー窓が有名だが、計算が面倒くさい
窓関数にはいくつか種類があるが、窓関数の中心を \(t=0\) としたときに、大雑把に \(\cos\) の組み合わせて作られている族がある
窓関数の端に \(\cos\) のゼロが来るものと、 \(\cos\) の最小値（つまり-1）が来るものがある。
前者は正弦波（あるいは余弦波）0.5周期、1.5周期、2.5周期・・・分の波形の線型結合になる
- メインローブを狭くしやすい傾向がある
後者は正弦波（あるいは余弦波）1周期、2周期、3周期・・・分の波形の線型結合になる
- サイドバンドを下げやすい傾向がある
- ただし、両端をゼロにするために振幅方向にオフセットがつく
- ハン窓はこのタイプ
- 0周期（直流）を \(\cos 2\pi\cdot 0\cdot ft\) だと思えば、0周期、1周期、2周期・・・の線型結合で書ける
- さらに両端で0にならない形も考えることができる
  - 低い周波数を打ち消しながら、高い周波数のサイドローブを上げる効果がある
  - ハミング窓はこのタイプ

カスタム窓関数以外は時間領域で正規化されているので、実際には係数を定数倍する必要があります
- normalizeのチェックボックスを外すと周波数領域での減衰量が分かります
log-logは両対数で、左端は \(0.9\makeunit{Lf}\) です
- 目盛はこいつで書いてます
coswinという関数が窓を計算してます
16ビットならブラックマン－ナットールでほぼ決まりです
akamoz.jp 8bitというのが今回作った窓、窓関数の端に \(\cos\) の最小値が来る系統で、オフセットがある
- ハミング窓の頭をちょっと押さえた感じ
- というか、ハミング窓でも7ビットなら十分使えそう、ハン窓は-30dBなので5ビット
- 2ndを最大に上げる
- 4thを適当に上げる、最小値を狙うのではなく、適当なレベルでやめておく
- さらにDC offsetを上げていくと、サイドバンドの高さが揃っていく
- この状態で1stを上げると、左端を0と数えて、2番目の位置に山ができ始めるので、周りの山と高さを揃える
- 理論もへったくれもなく、手で調整しておしまい
環境によってはかなり重いです（クソ真面目にフーリエ変換を計算してるから）
- ここに挙げている窓関数は全部 \(\cos\) の和で書けるので、フーリエ積分の原始関数が簡単に計算でき、数学的にちゃんと計算すれば解析的に表現できます
- もっと言えば時間領域で矩形関数と三角関数の積なのだから、周波数領域ではsinc関数とデルタ関数の畳み込み（三角関数なのでデルタ関数はふたつ生えます）になり、時間領域で偶関数なので周波数領域では虚部がなく、結局、周波数方向にずらしたいくつかのsinc関数の線形和になることが容易に想像できるので、まぁ、無駄なことをしてるっちゃかなり計算機資源の無駄遣いをしてる
- しかもCSSが縦横別だったり、両対数で目盛がサイズに連動するとか、WebWorkerとかResizeObserverとかAbortControllerとか、ムダに凝っｔ（ｒｙ

窓関数をサンプリングする

窓関数もサンプリングしなければならないので、エイリアシングの影響を受ける
ここでまた \(\makeunit{Lf}\) のお世話になる。
サンプリグ周波数を \(1\makeunit{Hz}\) 、つまり、サンプリング周期を1秒とする
ナイキスト周波数は \(0.5\makeunit{Hz}\) になる
もし、窓関数の長さを100サンプルにしたのなら、これは100秒に相当する。
したがって、ナイキスト周波数の位置は \(0.5 \cdot 100 = 50\makeunit{Lf}\) の位置に相当する
エイリアシングの影響を考えると、周波数特性の \(50\makeunit{Lf}\) の位置での振幅が、必要な信号レベルより十分小さい必要がある
そういう観点で見ると、ブラックマン－ハリス窓はメインローブ近傍のサイドバンドの下がり方は甘いものの、エイリアシングに効いてくる高域のサイドバンドは十分抑えられている
ブラックマン－ナットール窓は逆で、メインローブ近傍のサイドバンドは十分に下がっているが、高域のサイドバンドはいつまでも下がらない
- メインローブのサイドバンドを十分に下げるため、高域のサイドバンドを必要以上に下げない設計をしている、とも言える
まぁ、普通の窓関数を、普通の長さで使っている分にはあまり気にすることはないが、負荷や遅延の制限から32サンプルのように極端に短い窓にしている場合は注意が必要

両端が0ではない窓関数のサンプリング

ハミング窓のような窓の場合、両端が0ではないので、両端にサンプル点が来た場合を考えておく必要がある
消極的には端に来ないようにサンプル点を決めるのが一番楽
- エイリアシングの問題さえ解決していればこれで問題ない
両端がゼロになる窓の場合はゼロにしておけばいいのは自明で、それに振幅方向にオフセットが乗った形（線形和）なので、振幅方向のオフセットについて検討すればよい
時刻0で振幅値が-1から+1に飛ぶ関数をフーリエ変換・周波数帯域制限・逆フーリエ変換した場合、周波数制限を変に正負非対称にしない限り、逆フーリエ変換結果は原点を通ると予想される
この波形の振幅を調整、振幅方向にシフト、さらに時間方向に左右にシフトしたふたつの波形の差が目的のDCオフセット波形になる
したがって、両端ピッタリの点の値は元々の波形の \(t=0\) 側からの極限値の半分になっていると予想される
よって、両端は計算値の半分にしておくのが無難と思われる
- 実際にやってみると、窓関数の長さをぴったりにして両端を半分にするより、窓関数の長さをわずかに短くする方が周波数分解能が出るようだ
実際に色々な周波数で正弦波を畳み込んでみるとこうなる

窓関数は離散系
- 窓の長さに小数部分があるが、実際のサンプル数は奇数点で指定された窓の長さをすっぽり含むことのできる最小の長さになっている
  - 例えば、479.9なら \(\pm 239.45\) の範囲に値があり、 \(\pm 240\) の位置は0なので、正負と中央合わせて479サンプル
  - 480なら \(\pm 240\) の位置に値があるので481サンプル
  - 窓の長さを2で割り、小数点以下を切り捨て、2倍して1を足した値。
- \(\cos\) の係数には窓の長さをそのまま使う
  - Hann窓なら \(0.5+0.5\cos \{2\pi (i-H)/n\}\) で、 \(n\) が小数部を含む窓の長さ、 \(H\) は \(n\) を2で割って小数部を切り捨てた値
- 窓の長さがぴったり偶整数の場合に「Adjustなんちゃら」をチェックすると両端の値を1/2にする
正弦波は連続系
- 窓関数をデルタ関数列とみなして畳み込んだ結果を表示している
- 横軸は可変で、正弦波1周期が横いっぱいになるようにスケーリングしているので、計算している波形が1[Hz]なら1秒だし、100[Hz]なら0.01秒
- 窓の長さで決まる遅延を考慮して、正弦波の位相0が左端に来るようにしてある
- 縦軸は正弦波の頂点までは[dB]スケールで、それより下の部分は正弦波が上下いっぱいになるようにスケーリングして描画しているだけので、軸としては真数軸だが、スケーリングは対数でも現実のものでもない
  - 雰囲気が分かりやすいというだけ
  - 特に、ゼロ点をはさんで正負が逆になる様子がよく分かる
akamoz.jp 8bitは \(Lf=2.1137\) あたりに最初のゼロ点があり、そのあとはピークがだいたい-48dBの状態がずっと続く
Blackman-Harrisは周波数が高くなるとピークが低くなっていくのに対し、Blackman-Nuttallはあまり変わらない様子も分かる
- 窓長を長くすると周波数の分解能が上がる（より大きな \(Lf\) まで表示される）ので分かりやすい、重くなるけど

ローパスフィルタ

　執筆中

08 Mar 2026: 「窓関数をサンプリングする」・「両端が0ではない窓関数のサンプリング」を追加

31 Jan 2026: 新規作成

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